Razones trigonometricas.

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos.
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.
El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,
Sen=C.O/H
El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,
Cos=C.A/H
La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,
Tan=C.O/C.A

Aplicacion del teorema de pitagoras

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual, a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto). Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:

C2=B2+A2

relacion entre la forma y la posicion de la curva de funciones no lineales y los valores de las literales de las expresiones algebraicas

5.1 - FUNCIONES LINEALES

5.1.1 - DEFINICIÓN

Las funciones lineales responden a la ecuación : y = mx + n, donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen (cuánto vale la y cuando x = 0)

5.1.2- PENDIENTE DE UNA RECTA

La pendiente de una recta tiene que ver con su inclinación respecto al eje X.
La pendiente de una recta es la variación de la y (aumento o disminución) cuando la x aumenta una unidad.
Pendiente de una recta representada gráficamente: Para hallar la pendiente de una recta mediante su representación gráfica, se señalan dos de sus puntos y se mide la variación de la "x" y la variación de la "y" al pasar de un punto al otro. Entonces:Pendiente =
Pendiente de una recta a partir de las coordenadas de dos de sus puntos: Si conocemos las coordenadas de dos puntos de la recta: P(,) y Q(,), para hallar la pendiente procedemos así:
Pendiente de una recta dada por su ecuación: La pendiente de una recta dada por su ecuación es el coeficiente de la x cuando está despejada la y.

graficas de relaciones funcionales no lineales

3.3 Función lineal

Una variable es un símbolo al que se le puede asignar un conjunto de valores.
En general se representan las variables con las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.
Una constante es un símbolo al que se le puede asignar un solo valor.
En general se representan las constantes con las primeras letras del alfabeto: a, b, c.
Llamaremos función lineal a una ecuación del tipo
y = mx +b
Obviamente dados tres elementos cualesquiera de esta ecuación se puede hallar el faltante. Determine cómo.
m =
x =
b =
y =
En las siguientes gráficas, , se muestran todas las combinaciones posibles de m y b con valores -1,0 y 1, la segunda por ejemplo, muestra y= -1x +0 es decir y = -x.
Saque conclusiones sobre :
a- el crecimiento de la función a partir del signo de m.
b- el signo de la raíz a partir de la combinación de valores entre m y b.

a- * ................................................................................................
b-* .................................................................................................
c- * ................................................................................................
d-* .................................................................................................
e-* .................................................................................................


En las siguientes gráficas, , se muestran distintas funciones lineales con b=1.5, el valor de m se muestra en cada caso. Saque conclusiones sobre la velocidad de crecimiento de acuerdo a valor de m.
<>* Con las explicaciones dadas grafique las rectas que siguen, en el sistema de ejes de la página siguiente
y = 2x +2
y = -(1/2) x -2
y = (1/3)x +2
y =-3x -2
y = 2x+3
y = (1/3)x +3


Recuerde que la pendiente está dada por la diferencia de y sobre la diferencia de x. Esto se puede expresar también como "La cantidad de unidades .......................... ................................................................................................"
Halle las expresiones que determinan las siguientes rectas y grafique.
* Una recta de pendiente dos que pasa por el punto tres, cuatro.
* Una función lineal que pasa por el punto P, de coordenadas (18.1;3) y el J de coordenadas (1.2;-3.2)
* Una recta con m igual a -2/5 y término independiente igual a cinco.
* Determine todos los puntos de intersección entre estas tres rectas.
Responda las siguientes cuestiones y grafique.
* Si y = (3/2 )x + 3x, determine el valor de b.
* Si y = 3 + (1/2 )x, determine el valor de m
* Si t= 2/5 + x + 3, determine el valor de m y b

determinar el teorema de tales mediante construcciones con segmentos. aplicar el teorema de tales en diversos problemas geometricos

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos se llaman semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, a saber, que:
Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
Según parece, Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.
Corolario
Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.
Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos triángulos son semejantes, se cumple que:
Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; según Heródoto, el propio Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de Keops en Egipto. En cualquier caso, el teorema per se demuestra la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente entre sus lados.

ejemplos:

Si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

utilizar ecuaciones cuadraticas para modelar situaciones y resolverlas usando la formula general

Una ecuación de segundo grado, ecuación cuadrática o resolvente es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:

donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.
Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en es de la forma:
con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática.
La ecuación cuadrática es de gran importancia en diversos campos, ya que junto con las ecuaciones lineales, permiten modelar un gran número de relaciones y leyes.

formula:

ax2+bx+c=0

ax 2 + bx = -c
Þ a x 2 + ba
( x) = -c
Þ x2 + ba
x = - c
a
Þ x2 + ba
x + b
2 a ( )2 = - c
a + b
2a ( )2
Þ x + b
2a ( )2 = - c
a + b 2
4a2
Þ x + b
2a ( )2 = b 2-4ac
4a2
Þ x + b
2a = ± b2 -4 ac
4a 2
Þ x = -b
2 a ± b2 -4ac
4 a2
Þ x = -b
2 a ± b2 -4ac
2a

interpretar y utilizar índices para explicar el comportaminento de diversas situaciones

un índice es la medida estadística de comparación entre los datos de una cantidad que varía a través de tiempo. Se obtiene dividiendo los datos en diferentes fechas entre uno de los datos que se toma como base, generalmente el primero que corresponde al primer año. El cociente obtenido se multiplica por 100 para expresarlo como porcentaje.

Aplicar la semejanza de triángulos en el calculo de distancias o alturas inacesibles

Ejemplo:

La distancia del Sol a la Tierra es muy grande comparada con la tierra y con los objetos que hay sobre ella, de forma que podemos considerar que los rayos del Sol sobre objetos próximos son paralelos.
En consecuencia, los triángulos que forma tienen sus ángulos iguales y, por tanto, son semejantes. Entonces, al ser los lados de los triángulos proporcionales, tenemos:
expresión de la cual, conocidos , y , podemos despejar .

Determinar los criterios de semejanzas de triangulos

criterio L,L,L : dos triangulos son semejantes si sus tres lados son proporcionales.

criterio L,A,L :dos triangulos son semejantes si dos de sus lados son proporcionales y el angulo comprendido entre ellos es congruente.

criterio A,A,A :Dos triangulos son semejantes si sus tres angulos son congruentes y sus
tres lados son proporcionales.

determinar los criterios de semejanza de triangulos.

determinaar los criterrios

Ecuaciones no lineales

Ecuaciones de segundo grado de la forma ax2+c=0
En estas ecuaciones se tiene que despejar la variable como s uestra a continuacion:
5x2-20=0
x=2
X2-16=0
X=16

determinar criteros de semejanza de triangulos.

Angulos inscritos y centrales,asi como rectas y segmentos notables en una circunferencias.

ángulo central: es aquel que esta formado por dos radios dentro de una circunferencia.

ángulo inscrito: tiene el vértice en un punto de la circunferencia.

Las características entre el ángulo central e inscrito es que el ángulo central mide el doble del ángulo inscrito, o el ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central.

Puntos notables de la circunferencia

Diámetro: segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro.

Radio: Es la mitad de diámetro.

Arco: Es una parte de la circunferencia que se delimita entre dos puntos.

Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia.

Relación entre rectas y circunferencias

Recta secante: aquella recta que toca dos puntos de la circunferencia.

Recta tangente: aquella recta que toca un solo punto de la circunferencia.

Recta exterior: aquella recta que no toca ningún punto.

Criterios de congruencia de triangulos

Se dice que dos triángulos son congruentes si uno de ellos se puede superponer al otro de modo que coincidan en todos sus puntos.

A) Criterio LLL. Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son congruentes.


AB=A`B`

Diferencia de cuadrados

Es la expresión algebraica de dos términos con raíz cuadrada exacta separados por un signo negativo.

Para factorizar esta clase de expresión algebraica, se calculan las raíces cuadradas de los dos términos y se colocan entre paréntesis con signos diferentes; los términos de este paréntesis se multiplican por conjugado.
x2-y2=
4m2-25n2=
La diferencia de cuadrados es el resultado de multiplicar dos binomios conjugados.

Trinomio de segundo grado de la forma ax2+bx+c

Es la expresion algebrica de tres terminos donde uno de ellos es una variable elevada un exponente par con coeficiente igual a uno. Por lo general, el coeficiente del tercer termino no tiene raiz cuadrada exacta.

Para factorizar esta clase de trinomio, se encuentra un dos binomios con terminos semejantesa pareja de numeros cuyo producto sea igual al coeficiente del tercer termino, y cuya suma o resta sea igual al coeficiente del segundo termino. Los dos numeros se escriben dentro de dos parentesis con la variable del primer termino en cada uno.

X2+7X+12=
(3)(4)= 3+4=
El trinomio de segundo grado es, pues, el resultado de multiplicar dos binomios con terminos semejantes.

Trinomio cudrado perfecto

Esta formado por una expresion algebraica de tre terminos,don de el primero y el tercero tienen raiz cuadrada exacta.
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, se escriben dentor de un parentesis que se eleva al cuadrado - las raices cuadradas del primero y del tercer terminos(cuadrados perfectos), separados por el signo del primer termino (que es el doble producto de las raices cuadradas).

Ejemplo:

a2+2ab+b2=
a2-2ab+b2=

El trinomio cuadrado perfecto es, pues, el resultado de elevar al cuadrado un binomio.

cuadrado de un binomio

es una expresion algebraica de dos terminos separados por un signo de suma o de resta dentro de un parentesis elevada al cuadrado la regla para obtener su producto es: el cuadrado del primer termino mas el doble de la multiplicacion del primer termino por el segundo mas el cuadrado del segundo termino .
ejemplos:
(a+b)2=(a+b)(a+b)

Binomios con terminos semejantes

Esta formado por dos expresiones algebraias que se multiplican y cada una tiene un termino semejante...
La regla para obtener el producto es: "se multiplica el rimer termino de la primera expresion algebraica porlos dos terminos de las segunda; despues se multiplica el segundo termino de la sgunda expresion algebraica por los dos terminos de la segunda.Finalmente se suman o restan segun sus signos".

Ejemplos:

(2a+3b)(4a+5b)=

(6x-y)(7x+9y) =

binomios conjugado

el binomio conjugado es identico excepto por el signo de uno de los terminos. para obtener el producto se multiplican los primeros terminos de cada expresion algebraica y este resultado se le resta el producto de la multiplicacion.
ejemplos:
(a-b)(a+b)=
(4x+5y)( 4x-5y)